爆炸性增长

建模解决实际问题. 几种函数增长快慢的比较 栏目索引 CONTENTS
更新时间:2019-11-08 14:34 浏览:105 关闭窗口 打印此页

  2.5 函数模型及其应用 2.5.1 [学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长快 慢;理解直线上升,对数增长,指数爆炸的含义. 2.会分析具体的实际问题,建模解决实际问题. 几种函数增长快慢的比较 栏目索引 CONTENTS PAGE 1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测 挑战自我,点点落实 重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功 [预习导引] 1.三种函数模型的性质 函数 性质 在(0,+∞)上的 增减性 y=ax(a>1) 单调递增 随x增大逐渐 变陡 ______ y=logax (a>1) 单调递增 变缓 随x增大逐渐____ y=xn (n>0) 单调递增 图象的变化 随n值而不同 2.三种函数的增长速度比较 (1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和 y=xn(n>0)都是 增函数 ,但 增长速度 不同,且不在同一 个“档次”上. (2)在区间(0,+∞)上随着x的增大,y=ax(a>1)增长速度越 来越快,会超过并远远大于 y = xn(n > 0) 的增长速度,而 y = logax(a>1)的增长速度则会 越来越慢 . (3)存在一个x0,使得当x>x0时,有logax<xn<ax. 要点一 函数模型的增长差异 例1 (1)当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该 是( D ) B.y=log2x ? e? ? ? 1 000 C.y=x D.y=? ?x ?2? 解析 由于指数型函数的增长是爆炸式增长, ? e? ? ?x 则当 x 越来越大时,函数 y=? ? 增长速度最快. ?2? A.y=10 000x (2)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表: x y1 y2 y3 y4 1 2 2 2 5 26 32 10 10 101 15 226 20 401 25 626 3.36×107 50 6.644 30 901 1.07×109 60 6.907 1 024 32 768 1.05×106 20 30 40 6.322 2 4.322 5.322 5.907 关于x呈指数函数变化的变量是________. 解析 以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的. 从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变 化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同, 其中变量 y2的增长速度最快,可知变量 y2关于x呈指数函数 变化. 答案 y2 规律方法 在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y= logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不 同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大,y=ax(a>1) 的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长 速度,而 y = logax(a > 1) 的增长速度则会越来越慢,总会存 在一个x0,若x>x0,有logax<xn<ax. 跟踪演练1 如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟 合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所 提到的红豆生长时间与枝数的关系的 函数模型是( A ) A.指数函数:y=2t B.对数函数:y=log2t C.幂函数:y=t3 D.二次函数:y=2t2 解析 由题中图象可知,该函数模型为指数函数. 要点二 几种函数模型的比较 例2 某汽车制造商在2013年初公告:随着金融危机的解除, 公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的 汽车生产量如下表所示: 年份 产量 2010 8(万) 2011 18(万) 2012 30(万) 如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、 四年 . 现在你有两个函数模型:二次函数模型 f(x) = ax2 + bx +c(a≠0),指数函数模型g(x)=a· bx+c(a≠0,b>0,b≠1), 哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系? 解 建立年销量 y 与年份 x 的函数,可知函数必过点 (1,8) , (2,18),(3,30). (1)构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ?a+b+c=8, ? ? 将点坐标代入,可得?4a+2b+c=18, ? ? ?9a+3b+c=30, 解得a=1,b=7,c=0, 则f(x)=x2+7x,故f(4)=44,与计划误差为1. (2)构造指数函数模型 g(x)=a· bx+c(a≠0,b>0,b≠1), ?ab+c=8, ? ? 2 将点坐标代入,可得? ab +c=18, ? 3 ? ab +c=30, ? 125 6 解得 a= ,b= ,c=-42. 3 5 ? 125 ? ?6?x 则 g (x )= · ? ? -42, 3 ?5? ? 125 ? ?6?4 故 g(4)= · ? ? -42=44.4,与计划误差为 1.4. 3 ?5? 由(1)(2)可得,f(x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年销量 y与年份x的关系. 规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求 出相关函数模型,也就是借助数据信息,得到相关方程,进 而求出待定参数. 2.理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的 含义,在此基础上利用既定值来检验模型的优劣. 跟踪演练2 函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图. (1)指出C1,C2分别对应图中哪一个函数; 解 由函数图象特征及变化趋势,知 曲线对应的函数为g(x)=0.3x-1, 曲线对应的函数为f(x)=lg x. (2)比较两函数的增长差异 (以两图象交点为分界点,对f(x), g(x)的大小进行比较). 解 当x∈(0,x1)时,g(x)>f

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