爆炸性增长

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更新时间:2019-11-23 19:21 浏览:200 关闭窗口 打印此页

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  建议学生看书、上网、社会调查查看资料 收集有关“指数爆炸”这种说法的实际问题和有关直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的实际问题 并进行交流 可以用小论文的形式报告学生自己的研究结果使它作为评价学生学习的一种方式 如何体会不同函数类型增长的含义 我们给出以下实例 教师也可以组织学生调查、寻找生活及科学技术中的大量实例 认知科学的难点 学习问题 人工智能 “通用解题者”的思路和 稊型专家系统思路都遇到一些共同的困难 第一是专家的丰富知识并不是全说得清楚的 另一个困难是 这些知识的表现方法都不是面向学习的 即机器不能自己学习新的知识 而真正要作出能应付实用的专家系统 需要的知识量非常巨大 丑小鸭定理 丑小鸭定理的主要内容是 丑小鸭与天鹅之间的差别与两只天鹅之间的差别一样大 世界上所有事物之间的相似程度都是一样的 从这条定理可以得到的一个推论是 不存在摯靠凸蹟的分类标准 人进行分类所依据的一切准则都是主观的 选择什么准则进行分类则纯属主观评价问题 是一个涉及到价值观的问题 指数爆炸 在人工智能研究过程中遇到指数爆炸问题 其中一方面是计算时遇到的指数爆炸的困难 另一方面 在神经元网络计算机的想法深入研究的过程中 发现神经网也存在学习时间随问题的复杂程度呈指数增长的困难 摘自清华大学自动化系教授赵南元 认知科学与广义进化论 信息数据进入数学 二次大战后 计算机技术推动数学的进步 1948年 维纳的数学控制论和香农的信息论标志着数学进入信息时代 过去人们只把数学和力学连在一起 到了20世纪下半叶 信息、编码、通信、密码等一系列概念的数学化 反馈、滤波、预测、控制等一连串的数学技术 打开了一个新的数学世界 人们面对的数量关系 是从数据开始的 数学家的数学创造 其本源在于对数据的思考 一元函数 实际上是一张两行的数据表格的扩充 二元函数则是一张n行m列数据表的抽象表示 指数函数来源于“指数爆炸”的数据 信息社会是数据的社会大多数的科学结论要用数据来说话 因为有大量数据要传输 于是有数据压缩 国家最高科学技术奖获得者王选领衔完成的激光照排汉字印刷术 就运用了汉字字型数据的压缩技术 美国的数字电视制式世界领先 依赖于用“小波”技术进行数据压缩 导弹实验贵重异常 所得的数据非常少 于是需要从很少的数据中提炼信息 保证精确与可靠 有些场合的数据太多 例如一个股票市场的“海量”数据 必须加以深度挖掘 才能得到有用的信息 这又需要数据挖掘技术 数字地球的建立 则需要编码技术 我国的数学教学长期忽视数据的处理 总是在理想化的条件下研究一般情形 这是需要的 但也是不完全的 人们固然需要抽象地处理集合论、方程、群、流形、泛函等数学对象 同时也应当学会面对现实数据 掌握进行“数据分析”和“数据处理”的基本能力 这一点 在新的课程标准里也反映出来了 以函数为例 不能简单地把函数定义、性质罗列一下就算完事 而要观察具体的数据 体察数据变化的趋势 从人口数据看到指数函数 从潮汐涨落看到三角函数 此外 现在的学生都很怕数学应用题 其实 数学题无非就是要处理一些数据 找出已知的、未知的 常量的、变量的数据之间的关系 摘自华东师大张奠宙教授 数学进步 数学教育改革的动力 动植物与密度无关的种群增长数学模型 数学模型是用来描述现实系统或其性质的一个抽象的、简化的数学结构 科学工作者用它来揭开此系统的内在机制和对系统行为进行预测 建立动植物种群动态数学模型的目的 是阐明自然种群动态的规律及其调节机制 帮助理解各种生物的和非生物的因素是怎样影响种群动态的 在数学模型研究中 人们最感兴趣的不是特定公式的数学细节 而是模型的结构 哪些因素决定种群的大小 哪些参数决定种群对自然和人为干扰的反应速度等 下面介绍种群在“无限”的环境中 即假定环境中空间、食物等资源是无限的 因而其增长率不随种群本身的密度而变化 这类增长通常呈指数式增长 可称为与密度无关的增长 density independent growth 或译为非密度制约性增长 如果种群的各个世代彼此不相重叠 如一年生植物和许多一年生殖一次的昆虫 其种群增长是不连续的、分步的 称为离散增长 种群离散增长模型 在自然界中 有些种群的世代是隔离的 discrete intervals 即每一代的生活周期是分离的 例如很多一年生草本植物 在当年结实后死亡 第二年种子萌发产生下一代 假设一个理想种群 其每个个体产生2个后代 又假定种群开始时有10个个体 到第二代时 种群个体将上升为20个 以后每代增加1倍 依次为40 80 160 计算过程如下N0 10 N1 10 20N2 20 40N3 40 80N4 80 由上述过程可以归纳成最简单的种群增长模型由下式表示 Nt R0•Nt其中Nt表示t世代种群大小 Nt 1表示t 1世代种群大小 R0为世代净繁殖率 如果种群以R0速率年复一年地增长 N1R0N0 R0是种群离散增长模型的重要参数如果R0 种群上升R0 种群下降R0 雌体没有繁殖种群在一代中灭亡 建议 为了帮助学生认识“指数爆炸”、“直线上升”和“对数增长”等含义 例如 在指数函数的教学中 可以给出某城市十年期间燃料的消耗量 让学生利用图形计算器 给出这些数据的回归方程 画出方程的图像 并预测若干年后的燃料消耗量 练习与习题参考解答 正整数指数函数练习 随着x的增加函数值减少 经过3小时这个细菌繁殖成的个数是2 随着x的增加函数值增加 2指数概念的扩充 整数指数幂练习 4688 2821 2919 由正整数指数幂的运算性质得am•anam n中至少有一个为0时不妨设n 则am•anam•1 am am 于是am•an am 该型号汽车使用10000km时的存电比例该型号汽车使用20000km时的存电比例 4881010 增长率为2007年的“世界人口日”全球人口数将达到 指数函数的图像和性质 练习 指数函数的图像和性质练习1 减少的快习题3—3 指数函数的底数越大它的图像与x 1的交点越靠上 要使y1y2 只需3x 要使y1y2 3x•3y3x 3x的图象向左平移3个单位得y3x 向右平移1个单位得y3x 对数练习 log2102410 29512 对数的运算性质练习 lgxlgy 3lgz 2换底公式练习 3327 252625 lgxlgy lgz lgx2lgy lgz 2lgx 2lgy 3lgz lgxlg2 lgx 3lgx 4lg2 lg5•lg20lg22 lg5 lg2 lg22lg2 lg2 lg5 lg5 lg2 lg5 log43log83 log32 log92 1对数函数的概念练习 互为反函数定义域和值域互换 对应法则互逆 log14x 的图像和性质练习 3对数函数的图像和性质练习 lg6lg8 log035 log0 37 ln6ln8 log031 log031 log126 log1 28 logamlogan logamlogan 不一定成立logax2 2loga logax22loga 不一定成立loga 经过50年后的镭剩留量97 86 经过500年后的镭剩留量 80 52 经过10000年后的镭剩留量 指数增长、幂增长、对数增长的比较练习 不是恒等logax 不是恒等应是loga logaxlogay 不是恒等应是 log017 log0 19 log015 log235 log015 log2 35 loga4loga6 loga4loga6 10 方程化为3x 3•3x3•32x 3•32x 2•3x 方程化为3x 13当燃料质量是火箭质量的0 0060倍时 火箭的最大速度可达12km 0025014 37 5015 每年比上年平均递增率最高是029 15 建议答案要求改为 精确到2个有效数字 分析 1038茶水温度 65 1115 按本题条件 茶水不会冷却到12 2x是增函数则y1 y3 y2 答案D xya2 则有logaxyloga a2 若loga2logb2 要使y1y2 只需a2x a13x 有2x 要使y1y2 只需a2x a13x 有2x 要使y1y2 只需a2x a13x 有2x 2•3x32x 即3•32x2•3x 证明设x1 x2 在区间上是增函数 因为碳14C的半衰期是5730年所以建立方程 000121由此可知碳14C的衰减规律服从指数型函数 a1 000121t由于测得出土的古莲子中14C的残余量 占原量的87 所以两边取常用对数 000121t0ln0 879 得t0 1065 05100 131500 31000 05100 4076000 因此 富兰克林的设想有道理 第四章函数应用 一、教学目标 通过本章的学习对函数有更进一步的理解 在用函数的过程中理解函数的概念 性质和函数思想方法 通过本章的学习在用数学解决问题的实践中 体验数学建模的过程 了解数学建模的意义 促进学生发展数学应用意识 通过本章的学习以函数应用的价值激励学生学习数学的兴趣 在集中尝试用数学解决实际问题中 增强解决问题的自信心 通过本章的学习在以数学的眼光观察生活、社会与自然的过程中 使学生更加热爱生活 使生活更加有情趣 二、编写意图与特色 突出数学应用担负承前起后的责任 《标准》中明确了这样的理念 高中数学课程应提供基本内容的实际背景 反映数学的应用价值 开展“数学建模”的学习活动 设立体现数学某些重要应用的专题课程 高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系 促进学生逐步形成和发展数学应用意识 提高实践能力 在《全日制义务教育数学课程标准》的课程目标中也讲了数学应用的问题 要学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会 去解决日常生活中和其他学科学习中的问题 增强应用数学的意识” 可见 在高中学习之前 学生已经初步建立了应用数学的意识和解决问题的体验 但拘于知识和能力的限制 没有开展“数学建模”的学习活动 在数学应用方面 高中阶段的学习提出了“力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断” 《普通高中数学课程标准》中课程目标的第4条 的更高要求 本册教材是高中数学的第一模块 函数是高中数学的起始课程 函数的重要性主要表现在两个方面 一是函数思想的价值 二是函数应用的价值 就函数应用而言 即要考虑到初中已有的基础 又要为整个高中阶段数学应用的学习做必要的准备 这部分教材 对学生的数学学习有承上启下的作用 为了充分体现《标准》的精神 有效地落实《标准》的目标 在本册教材中单独设立了“函数应用”一章 力图在理念、意义、方法和能力上为高中阶段的进一步学习奠定基础 在这一章里 从两个方面学习函数的应用 一是函数与其他数学内容的联系 再一个是函数与实际的联系 这两种联系都是非常广泛的 在我们的教材中虽然单独设立了相关章节 但也只能说是初步的 从两个方面展开函数应用突出用数学解决问题 教材里呈现的函数应用有两个方面 一是函数与其他数学知识的有机联系 这里集中研究的是从函数特征判定方程实数解的存在性及近似求方程解 二是函数与实际问题的联系 用函数解决实际问题 我们研究函数的应用 有助于加强学生对函数概念的理解和函数性质的运用 但这仅仅是一方面 非常重要的是 面对具体的问题 无论是数学中的还是现实世界中的 对其中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断 着眼于学生对数学应用的理解 认识数学的价值 提高数学应用的能力 全章内容分三个层次逐渐展开 首先是函数用于方程是求解 然后是实际问题中的函数应用 最后是数学建模 对学生来讲 函数与方程的关系容易接受 理解求方程实数解的问题就是求函数的零点问题不会有太大的困难 但当遇到实际问题的时候 学生往往显得没有信心 甚至束手无策 那么 后两个层次将这个困难分解了 先解决一些简单的问题 再去面对需要数学建模全过程的实际问题 连续在本章研究方程实数解时 我们需要假设f 的图象是一条连续的曲线这一点很重要 如果曲线不连续 问题就无从说起 正因为曲线是连续的 端点一正一负的区间内部就一定存在函数的零点 在中学并不严格定义连续函数 我们是从函数的图象入手 从一段图象没有间断点来认识连续的意义

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